老师，大家好！

这次是一个网络教师培训的单元，在这个单元当中，就我们幼儿园数学教育领域和大家做一个交流和讨论。我们的课程安排分成若干个模块，在今天这个时间里，主要讨论其中一个模块。

大家已经看到了，就是数与运算，在讲这个模块之前，我想先跟老师们说一说我们整个数学教育的大背景，以及我们为什么要把数学的教师培训按照这样的模块结构来进行设计，我想先说一下背景。大家都知道我们国家从2001年开始启动国家新课程改革，新课程改革和我们原来传统的幼儿园课程相比，我想老师们都已经感受到了它的最明显的一个变化，这个变化就是从原来的学科的分科课程变成了一个以主题为载体的整合式的幼儿园课程，这样的一种新课程改革的转向，也就是我们看到的，对于我们幼儿园数学教育领域来说，它也发生了一种转向。这个转向就是从原来的传统课程当中，以学科为逻辑线索来展开的这种数学教育课程，转变为一种不按照学科逻辑来走的，以儿童生活经验当中相联系的在自然界、社会、家庭等等一系列跟生活经验有关的主题当中去寻找一些数学的相关内容，然后来展开这个领域的教育，所以发生了这种转变。

在这种转变当中，我们可以稍稍地来看一下，也就是说这种转变使我们看到了两种不同的对于幼儿园数学教育领域课程的两种不同的逻辑结构。我们原来的传统课程，我们可以称它为一种学科逻辑式的结构，也就是说，它主要是按照数学学科本身的逻辑线索来安排的，那么这样的学科逻辑式结构的数学教学课程，相对来说。

它有这样几个特点。第一，它的认知要求非常明确。因为在儿童发展来看，儿童有身体，有认知，有情感，有个性，社会性等等几个方面的发展。在数学这个领域来说，首先我们想到的是对认知领域的发展，所以它的认知要求很明确，作为教师来说，也很清楚地知道，在每个年龄阶段，小班、中班、大班，所以它的年龄分段要求也很明确。另外，它的课程内容安排是按照直线上升、阶梯式上升的结构来进行体现渐进性。在我们新课程改革当中的数学教育，我们把它称之为主题线索式结构，在这样的一种结构课程当中，我们来做数学教育。

主题线索式结构数学教育相对来说，它也有几点。首先，它可能不仅仅是关注在认知这一块，它有儿童认知、社会性等等各个方面的发展作为我们课程追求的目标。第二，在这样一种结构数学教育当中，更关注的是儿童的数学是和生活联系在一起的，紧紧联系在一起的，所以更多的是让儿童学了数学的知识和概念以后，能够应用到对生活当中问题的解决，倡导的是一种应用型的数学，所以更关注的是数学和生活的一种联系。在这样的一种转向的课程当中，主题线索式的结构课程当中，对幼儿园老师，提出了更高的挑战。因为原来的学科逻辑，老师只要清楚数学教什么，然后怎么样按照它的逻辑性一步一步地来教，老师认为她的任务基本上是达到了。但是现在的数学教育，在主题的框架下，数学教育每一个内容一直是需要老师自己去摸清楚它里面的线索，然后把它很好地融合进去。所以对老师提出了，应该说更高的要求，或者说是挑战。这种挑战，我想最起码表现在这样几个方面的关系上。

首先是领域和主题是什么样的关系。第二，就是数学本身的学科性和逻辑性和我们追求的数学的生活性、数学的应用性之间的关系该怎么处理，这对老师来说是很纠结和也很难的一个问题。具体到很多活动的话，你就需要去评判，很好地去平衡。第三个关系就是对游戏和教学关系的一种更深入更具体的体现。因为我们现在看到幼儿园的活动，更多的看到的是什么，是上课，我们往往会把数学马上就会跟集体活动跟课联系在一起，因为数学是教的，是教学，但是实际上，教学和游戏它不是对应的，游戏既然是我们幼儿园的活动，最主要的活动，那一定是它体现在学习当中，体现在应用当中，也体现在游戏当中。游戏贯穿始终。所以对于我们数学教育来说，就应该要有一个教学和游戏一体的观念。所以这些都是对我们老师提出的在新课程改革当中的挑战。在这种挑战当中，特别让老师要下工夫的一个问题是什么，就是对领域和主题之间关系的理解。

在讲这个关系之前，我们先可以稍稍地来看一看领域，我们怎么理解领域，我们怎么理解主题。什么是领域？我们说领域是用来确定幼儿发展经验或者教育内容的不同范围或者模块的一种课程概念。在一定程度上，它既体现了对学科的融合和统整，又从根本上考虑到了不同学科的特殊性。应该说它能够反映的是学习经验的纵向层次性和学科知识性。也就是说，任何一个领域，我们今天讨论的是数学领域，但是每一个领域，领域都是按照它自身的一种纵向结构来发展，从领域本身来说，我想数学不用说了，比如说语言，我们马上想到儿童的听说读写能力，很多语言经验，书面语言经验、文学语言经验。

听说读写，实际上从它本身的发展上来说，它也是有个纵向线索的，包括我们的艺术领域、儿童感知和体验。它一定是在儿童的感知体验的基础上才能去模仿展现，再能够去表现想象和创造。所以我们就可以看到这就是每一个领域它自己本身的纵向层次性。也就是说，各个领域走的是一种纵向逻辑线。我们再来看主题，主题是什么？主题是对彼此密切关联的一系列活动或经验的概括，它是一种围绕某个中心形成的一种教育内容的组织结构。一个主题可以横向关涉或者辐射多个学科或领域的经验，并从幼儿的整体认知和感性体验的身心特点相吸。也就是说，我们大家都知道，主题和主题之间是没有一个明确的逻辑关系。你今天把动物的主题放在四季的主题之前去做，可以吗?完全可以。所以它只是一种横向之间的关系。实际上我们就可以看到，领域，各个领域，从逻辑上来说，它是一根纵向线，而主题从逻辑上来说是一根横向线。这两根线，当我们现在在综合主题课程载体当中的时候，这两条线，从逻辑上来说，它是不可能完全是一样的，达到很好地预期，或者说是平行，这就需要老师在当中很好地融合，所以后面讲到要双重考虑，要有机融合。这八个字“双重考虑，有机融合”，看起来八个字简单，但是做起来真不简单。因为老师一定要有很清楚各个领域本身逻辑上的纵向线，如果说主题是一个明线，暗线老师心里面一定要有，如果没有的话，就会出现一些让我们看起来并不太如意或者说有一些问题的主题式的问题。因此，这样的问题，我们在实践当中会发现很多，借这个话题引出我下面要讲的内容，我们现在要做的培训要帮助老师搞清楚这根纵向线，让老师知道数学本身有什么样的领域知识，有了这样的知识，老师才能更好地去想在主题的载体当中怎么样去支持儿童去学习，怎么样去设计。所以我要讲的是教师本身专业知识提升的重要性。我们很多很多研究都告诉我们，一个老师他的专业知识和孩子的发展是有很大相关的。

教师的专业知识包含哪几个部分？一个老师的专业知识分成三部分。我们可以称为本体性知识、条件性知识和实践性知识。所谓本体性知识，老师首先要具备对于这个领域的或者这个学科的领域内容方面的知识和能力。这是老师必须要知道的。自己先要搞清楚数与概念是什么，然后你才能够去教儿童。否则你拿着教材，你以为你理解了，实际上没有理解。等会我们具体展开说。第二就是条件性的知识。你要能够懂儿童，看得懂儿童在数概念在运算学习当中他的学习困难

是什么，他为什么会有这样的行为表现，你怎么去支持他。

第三是实践性知识，老师必须要具备一种更好地去支持儿童的学习发展的方法和策略的知识。这三者是缺一不可的。我想我们现在首先在这三种知识和能力当中，本体性知识是最基本的最基础的，你首先要知道是什么，才能够去思考为什么和怎么做。下面要讲的是本体性知识。今天我们是从数学领域讨论的，数学领域的本体性知识是什么呢？数学领域的核心经验。对儿童在这个年龄阶段来说，它最关键最重要的核心的经验是什么，就是关于内容和知识，什么称之为核心经验呢？核心经验就是对于儿童掌握和理解某一个领域的一些最最重要的概念和能力或者说技能。是数学领域当中最最重要的一些概念和能力，老师们，按照你们的经验你们说说看在数学这个领域当中，核心经验有什么，最重要的概念，能力或技能？你脑子里现在想到的是什么，如果从这样的描述去看的话，核心经验是什么，你想到的是对儿童很重要的，有些是什么内容？在我们现在幼儿园的数学教育当中，对儿童来说，数学领域最核心的经验是什么？没关系，你们想到什么就说什么。有什么内容？数概念，听见有老师说是数概念。还有呢？图形，还有什么？排序，这个老师说排序。还有呢？集合。还有呢？逻辑。什么叫逻辑？数学充满了逻辑，逻辑具体指的是什么？数的分合，数概念里面数的分合。还有吗？运算。数概念，还有运算，还有图形，大家还讲到了排序，大家头脑当中有一些核心经验的内容，等一会我们一一来解释数学领域的核心经验究竟是哪些部分。从刚才对核心经验的描述当中我们可以看到，如果说是数学领域的核心经验的话，它应该具备四个特征：第一，它是基础的，最最基本的，也是最最核心的，为什么叫核心经验？因为一讲数学内容，我们老师的头脑当中马上就会想到好多好多，就是数概念里面就有好多，数概念里面有数字，有数数，有数的分解与合成，有数量的比较，有单双数，有相邻数，有零等等那么多。到底什么才是数概念里面最最重要的，最最核心的呢？我想等一会我们就会具体讨论这个模块。它应该是最最基本最最中心的。第二个，它是系统的，各个核心经验之间是有联系的，是一个系统的结构。第三个，它是适宜的。虽然从数学学科来说它也重要，但是对这个年龄阶段，这个孩子来说，可能未必是很重要的。所以它一定是和儿童的这个年龄是想适宜的。所以我们经常讲的一句话就是最近发展区。在儿童当下的年龄阶段他的学习和发展，这个核心经验是适合的。第四，是潜在性。它对儿童以后的这个领域的学习和思维的发展是具有预测性的。

我们就来看一下数学在早期儿童数学教育当中，核心经验我们可以把它分为四个部分。第一个部分，集合与模式。这个里面的顺序没有关系，就是这样的四个部分。集合与模式，数与运算，比较与测量，几何与图形。可以分成四个大块。在每个大块里不是说知道一个名称就行了，究竟里面包含了一些什么样的核心内容，也是需要帮老师来梳理。我们整个网络的老师培训，会按照这四个大板块来进行设计。

今天我们要讨论的是其中的一个，数和运算。而且今天我们讨论的数和运算是一个领域里的半个。也就是说，今天主要讨论的是数，运算将放在下一个单元。下面归入正题，我们要来讲“数”。数，我想老师们一想到数的话肯定就会觉得，它是数学里面最基础的，是不是最基础的？也是最最重要的，数，在数学当中，它是最最原始的，最最基本的两个概念，一个是数，一个是线，这是其中之一。打个比方说，如果把数学比喻作一棵大树，那么在大树上面，两个最粗的枝干，一个是数，一个就是形。其他的内容都是在这两个主干上长出来的枝枝蔓蔓，所以数概念可以说是其它所有数学概念里面，它是最基本的。对于学龄前的儿童来说，数概念的发展实际上是一个不断的连续的在建构的过程，而且这个过程，注意！第二句话是这样写的，这个过程也是一个相对长期而复杂的过程，老师们，注意这两个形容词“长期”而“复杂”，也就是说，你不要把孩子数数、数概念看成是一个简单的掌握过程，等会我们看一些具体的表现就会知道，孩子对数概念的掌握是需要一个过程，而这个过程相对来说比较艰难，尤其在某些孩子身上，它是包含了一些重要的发展阶段和核心的内容，那么我们老师就应该知道在数概念的学习和发展当中，这些核心的能力究竟是什么。下面我就来讲一下最关键的东西，帮助老师梳理这些最核心的东西以后，你就你能够很好的去看儿童的数概念的发展，能够很好地去设计一些知识性的促进数概念发展的活动。

实际上，数概念看起来，大家会想到很多很多内容，但实际上就其本质来说，有三个方面。最关键的是它的内涵。一个是数字，另外一个是数量，还有第三个是数数。数字，首先我们说数概念里面肯定要出现一到十里面的数字，书面的数符号。对数符号、数字来说，孩子应该掌握什么？老师又应该知道一些什么样的内容，等会我们来讲。第二个我们要知道的是数量，当一个数字与具体的量联系在一起时，它才有更好的数学意义。第三个就是数数的问题。下面我们一一地来讲。

首先我们来看数字，数字，就是一到十。一般来说接触的是一到十。那么数字符号，注意是数字符号的使用有多种方式，它们的数学意义不尽相同。老师一定要知道，任何一个数字，实际上它代表的意义是不一样的，一般来说，数字可以代表什么意义？比如说5，5可以代表什么意义？这个老师说5个表示1个和4个合在一起是5个。5表示的是一个数量，5表示5个人，5朵花的时候，它是一个什么数？数学里面讲的是自然数里面的是什么数？基数。很好。大家看，这里有5个五角星，它可以用数字5来表示，所以这个数字5是表示5个五角星，5个人，5朵花，5只皮球，所以它是一个基数，除了基数以外，还可以表示什么？听见一个老师说可以表示序数，可以表示第五，这个5写在这里，我表示第5行不行？可以，你看这里指的是第五个五角星，所以这里的5它表示的就不是5个五角星而是表示第5个五角星，这个时候它表示的是什么？是一个序数。除了基数和序数以外，数字还可以表示其他的意义吗？在生活当中，大家想想看，你看到的数字还有没有其他意义？时间，很好，有老师说时间。时间也是数字，钟表上也是数字，这个数字它是不是基数呢？不是基数。是不是序数？也不是。那是什么呢？价钱，我听见有老师说，那就是钱。那这个数是什么数呢？我们来看看。你们看看，除了基数，序数，它还可以表示什么？命名数。这里的哪张图表示命名数？电话号码上面有数字，我们每个人的手机号是不一样的，你的是1390···，一串数字，表示的是序数吗，是基数吗？不是，它表示的是代表你这个人的一个符号的命名的数字。我们再看篮球运动员身上的球衣号，我们知道姚明是11号，姚明的11代表的是基数吗？不是，也不代表姚明第11个出场。它是什么？它是一个命名数。刚才我们老师说的时间就是一个什么数呢？对，参照数。温度计上的、钟表上面的、日历上面的这个数字、钱上面的数字它表示的是一个什么？大家共享的这样一种衡量的标准。所以你看，数字这么简单，但实际上它表示的意义是不一样的。

我们老师要说了，那我知道基数、序数、命名数、参照数，我是不是去跟孩子说这个是基数，这个是序数，这个是命名数，要不要这样呢？不是让你知道这些不是为了让你去告诉孩子这个叫什么，但是老师有必要知道这些是为什么呢？因为你能够很好地去看得懂儿童的错误，实际上儿童对数字的理解上面，越是小年龄的孩子，他搞不清楚。

比如说我举个例子，小班孩子老师生活当中要跟孩子出门了，要到教室去，要到操场外面去玩。我们排排队，来来来一个一个跟上来，一二三，点着那个男孩子三，那个男孩子马上叫起来，说：“老师我不是三，我是四。”为什么？为什么这个孩子会说“我不是三我是四”？为什么呢？因为老师在说一二三，点到这个三的时候，老师这个三表示的是什么意义啊？是什么？序数，很好，表示你是第三个，但是孩子他反应出，我不是三我是四，他说的是什么？他理解的这个是序数吗？他不是，为什么你们知道到他说四啊？老师问他“你怎么是四啊”？他说：“我四岁了，我当然是四。”所以他就是这样理解的，它显然不是一个序数的概念。也有的时候,比如说我们老师会给孩子一个数量。比如说一个数字牌，我上面写着12，这个数字牌给孩子，然后让孩子做游戏。看着这个数量，然后你去拿一样的东西。孩子看了“十二”这两个数字，你去拿糖果，拿跟它一样多的糖果给我。“哒哒哒”孩子过去了，然后他会回过来你猜他拿了几粒糖，三粒。为什么？因为他看到的是1和2，所以这就是我们看得懂孩子了，孩子就是，他不可能尤其是年龄小的孩子，他不可能这么快地去理解这个数字符号它所代表的数学意义，这不是一个划等号的事情。所以你不要像有些家长很骄傲地说“哎呀，我的孩子没问题，数概念不要太好，他一到二十到五十全背出来”。他是不是五十全背出来，他五十数量都知道呢？ 不一定。他可能连五都不知道，所以数字他只认识，就像我知道你叫张三你叫李四一样，最多就是一个名称是没有意义的。当他能够把这个数字跟一定的数量，跟一定的对象建立起联系的时候，这个才具有数学意义。所以我想，这是我们老师首先应该明白的就是，怎么看数字在儿童数学学习上的意义，怎么帮助孩子去理解。

   第二个我要讲的是数量，数量是我们说任何一个集合的一种属性。任何一个集合它都有很多属性。比如说我们看这张照片，这上面是什么？杯子，我们看杯子这个集合，它是有多种属性的，有哪些属性啊？颜色是它的属性；材质，这个杯子是塑料的，还是瓷的，还是什么材质；还有它的图案，你们发现这个图案上面是不一样的；还有什么，还有它的数量，数量也是它的属性，我们会发现这里有六只杯子。所以这个数量是集合的仅仅是一种属性，我们更应该知道的是，对于这样一个对象这样一个集合来说，数量这个属性跟其他的几个属性相比较而言的话，哪个更难，哪个更抽象？对儿童来说。数量更简单还是更难一点？更难一点。你如果说给他一个具体对象的话，他一定会先关注它的颜色，颜色是它最直接的，然后其次是它的其他形状，它的大小等等特征。往往很少有孩子会直接关注到它的这个属性，就是数量的属性。所以我要说的就是当老师希望儿童去关注到数量这个属性的时候，你尽量地要去掉一些，尤其是小年龄的孩子，去掉一些其他属性的干扰。其他属性的干扰太多的话，他一定先去看其他属性。我们说，数量是集合的一种属性，我们是可以用数字来表示物体的数量，在这里想跟老师们说的是，当我们给孩子出现数量的时候，我们尽量地要避免一些孤零零的数字。什么叫孤零零的数字呢？我们刚刚讲过数字，就是纯粹的“一、三、六、八”这个数字给他，就是没有任何跟它的一个量联系起来，对象联系起来的孤零零的这个数字。这个时候对孩子来说，他只是把它像记一个名词一样把它记住。我们说数字它应该是一个量词，而不是一个名词。要从量词的角度去理解它，就是他一定要和一定的物体，一定的对象的数量建立起来联系，否则的话光记这个数字名称只是知道它的名称，不知道它的意义。所以我想在这边要跟老师们说说，就是数量对于儿童来说，数量的掌握要更好地去理解数字它所代表的这个数量的意义的话，我们老师在跟儿童做互动的过程当中要尽量地去关注到符号和语言。这里划了两条线，符号和语言在他的数概念当中，建构当中它有一个很重要的关键性的作用，然后要适时而灵活地给儿童提供一些知识性的策略。

下面我们举一个例子来讲一下，比如说即将要出版的，网上已经出来的征求意见，就是我们国家的《三到六岁儿童学习与发展指南》。在这个指南当中，就数学认知这一块里面，有第二条目标是感知和理解数量及数量关系。在这个里面，对三到四岁、四岁到五岁、五到六岁都有这样一些细化的目标要求。我们看看这里我打红颜色字体的部分涉及到的是什么内容呢？我们扫一扫，老师们眼睛看一下你们觉得是什么内容？这两条，能通过一一对应方法比较两种物体的多少；中班，能通过数数比较两种物体的多少，那实际上它就牵涉到一个什么问题，多让孩子做什么？要比较数量的多少，数量的比较。都涉及到一个，那就是我们刚才讲的数量，数量要比较。在比较的过程中会有一些方法，孩子在数量比较的时候，就是哪个多哪个少，他往往会用一些什么样的方法呢？老师们你们说说看，你们的孩子，你让他们比这个那个，哪个多哪个少，他会用什么方法？用手数的方法，数数的方法，还有没其他方法？目测的方法；还有没有其他方法？放在一起，一个一个对在一起，一一对应的方法，还有吗？一般来说，孩子在对两个集合要进行数量比较的过程当中，他不外乎这四种方法。

第一个方法就是刚才老师讲的数数，我数这里苹果有几个，这里梨有几个，数出来告诉我；第二个是一一对应，说完把一个一个对起来然后看看哪个多哪个少；第三种方法叫做视觉提示，就是眼睛一看，这个短一点，这个长一点。然后我就说这个长一点的就是多，那个少；第四种方法是目测，就是一刹那间的一种，一看，通过目测这里有五个这里有四个，这是通过目测的方法。一般来说不外乎这四种方法。那么我们要请老师思考一下这四种方法当中，对儿童来说更好地能够去比较出数量的多少的方法应该是哪一种？能够让他更好地去更确切地去知道数量的多少是哪一种？一一对应，如果你给的东西一个是这里十几个，这里是二十几个，那一个一个对应要对到什么时间。什么样的方法是最最简单的，目测？数数？到底是什么？目测的话，你想想看，你眼睛看最多能看几个？最多能看五个，超过五个怎么办？那不就要数了吗？所以归根到底最好的方法最可靠的方法是什么？所以数数是最可靠的方法，但是我们知道以往的研究，大量的研究告诉我们，一个儿童，学前的儿童能够自发地用数数的方法去解决数量比较问题的话，小年龄儿童不可能。你看我括号里是“5岁半”，当然这个是国外研究的资料。对我们现在的儿童来说，好像没有那么晚，但是小年龄的孩子他往往不会用自发地用数数的方法，所以你就要给他这个策略，告诉他这个策略。

在这个数量比较的过程当中，你给他呈现的这个数量比较的两个集合的呈现的方式是会影响到他的比较。比如说我们来看，这两个花，这样的排列，对儿童来说好吗？简单吗？简单因为它是一一对应。这样的两个花的比较怎么样？对儿童来说比较出来就很难，为什么？因为它是反过来，不对应的。孩子就不容易比较；再来看看这个，这个怎么样？难不难？难，难在什么地方？你给了他一个干扰，什么干扰？你的视觉，它往往小年龄会用视觉提示的方法。但是你只有通过数数你才能正确地比较，因为乍一看你觉得它们是一样的，但实际上是有多有少。所以我们看一一对应的排放跟不是一一对应的排放，对儿童数数，数量的比较来说就会有不一样的要求。所以在这里面，我觉得作为老师我们就要调整我们自己的决策，我们可以有这样一些策略。

第一个策略，你可以改变或是调整一下这个比较集合的排列方式。像我们刚才说的，对他太难了你就可以一一对应来排放，一一对应排放他已经掌握了，你就慢慢可以不一一排放，所以要调整你的排列方式；第二个策略，你要用语言提示，当孩子不会自发地用数数的这种方式去的时候，你要提示他，“你试试看你来数一数，这里上面的和下面的都有几个呢？”他数好了以后，“你数一数就清楚了，这里多这里少”。第三，调整提问方式，我们一般在问孩子哪个多哪个少的时候，我们会怎么提问，我们会怎么问孩子？你如果说，这个是小鸟和虫子，你会怎么问，上面是画的是小鸟，下面是虫子。你要问他，你怎么问他是多少，小鸟和虫子哪个多哪个少，是吗？还会怎么问，会不会问他小鸟比虫子多几个，是吧？会不会这样问啊？这样的提问方式，搞不好呢，对孩子来说，小年龄的孩子，他是不是能够很好地来回答多几个的问题呢？你们看这两种不同的提问，一种提问是，小鸟比蚯蚓多几个或者多多少，另外一种提问是，有几只小鸟会吃不到蚯蚓。这两种不同的提问，你们知道孩子的反应的这个结果会怎么样，这是有研究的数据，我具体的数字忘记了，但是你们猜想一下，哪一个成功率更高。

下面一个。

它起码要比前面一种要提高30%，三十个百分点。也就是说大量的孩子，在有几只小鸟会吃不到蚯蚓啊，他就回答出来。但是小鸟比蚯蚓多几个啊？他就茫然了，为什么呢？我说老师，一定要知道为什么，为什么呢？为什么我们才能够，你知道道理才能调整提问方式。

下面一个问题就会有一个提示。

非常好，下面这样的问题就给孩子一个线索，这个线索你把小鸟和蚯蚓一一对应起来，有几只小鸟吃不到蚯蚓啊，他一定是会把小鸟跟蚯蚓对起来看。哦，就是这个样，你前面问他，小鸟比蚯蚓多几个啊？它已经抽象了，这个抽象对孩子来说就难了。所以我们会看到这个就是我们老师要调整的提问方式。

   刚才讲的第四个策略是什么，强化正反。什么意思？就是说当孩子用了一个更好的策略的时候，一定要给他一个正向的反应，告诉他这是一个非常好的策略。他以后就会排除他的视觉体系认证。而且小年龄的孩子就应该不断强化他，他才能确立这样一个知识型策略。

    这个就是我们讲的，数量比较当中老师怎么样通过语言，通过符号，帮助他来调整你的一些知识型策略，来帮助孩子更好地去掌握这些点。好，这是我想讲的第二个方面，就是这个数量。数量，我们知道，它是具体的集合的一种属性。而这种属性，它相对来说更抽象。数量跟数字建立起联系的这个过程，是相对孩子来说，数学的学习十分有意义的过程。

   第三个我们要想讲的是数数。数数就是数，有多少啊。数数当然我们知道，数数是一种方法，是一种能力，数数可以用来确定具体的一个集合单位，到底有几个数量。数数当中它有五个原则，这五个原则是很重要的。我们要知道任何数据它都有五个原则：第一，固定顺序。什么叫固定顺序原则？是不是从左到右属于这个固定的顺序，是不是这样？对，固定顺序的原则。第二，一一对应的原则。什么叫一一对应？就是你手里点到一，你嘴巴里说出来的是一；你手里点的三，你嘴巴里说出来的是三，手口是一致的，一一对应。什么叫顺序无关，这些原则都是非常重要的，我想一一地来讲这些原则。

首先我要讲的第一个原则是固定顺序，什么叫固定顺序？有老师说，固定顺序是从左到右，这叫固定顺序。不是这样的，固定顺序原则不是讲从左到右，固定顺序的原则指的是什么呢？指的是数词的顺序，也就是说，一二三四五，这个数字的数词的一个顺序，它是固定的。在数数的时候一定是“一、二、三、四、五”，你数任何东西不可能是“一、三、二、六、七”这样数。所以固定顺序原则指的是点数物体的数值是有序，并且始终不会变的，始终是这样的，这个很重要。

第二个原则是什么？一一对应原则。也就是说，一个集合当中的物体它必须并且只能被点数一次。这些原则很重要，这些原则你如果看不懂。我等会给你们看视频，孩子在数数，出现很多错误。如果你明白这些原则的话，你就去看孩子这些错误都很正常。因为它是一个复杂的一个过程。一一对应的原则指的是什么？孩子是不是可能这样？一、二、三、四、五，手里点了四位数，嘴巴里就说到了六位；一、二、三、四、五、六，六了，手里还点着四，这个就是一一对应原则有问题。那么固定顺序的原则有问题的话，他这个会怎么样，怎么数？一、二、四、五、七，要么跳着数，要么这个顺序颠倒了，就是数值出错。

第三个，叫做顺序无关，什么叫顺序无关？这个顺序无关恰恰就是我们刚才所说从左到右，从右到左，从上到下，从里面到外面数，这个顺序是怎么来，没有关系。跟什么没有关系，跟数得结果没有关系，数来数去，不管你从左到右，从右到左，还是从上到下，都数出来是几啊？都是五就是五。所以顺序无关原则，对老师来说，恰恰我们应该支持还是怎么样，不要总是从左到右数，要让他尝试从不同的方向去数数，你可以从左到右数你也可以从右到左数，也可以从上到下数，顺序无关。

基数原则是什么？什么叫基数原则？数到最后一个数字的时候就是知道这个集合的总数。基数原则，如果孩子出问题了，他会怎么表现，他有什么表现，我们不是要知道原则，原则没意思，我们看看书就知道了。我们要看得懂儿童，儿童基数原则如果出问题的话，他会怎么样，他会怎么数。你们来说说看一个孩子的表现，这个说明他基数原则有问题。他会怎么样，这个老师你说说。

报错了。

   怎么报错了？

   一、二、三、四、五，他会说六。

    对了，这个老师说的。你数数看这里有几朵花，一、二、三、四、五、六，这边几朵花，五朵花。他数的是一、二、三、四、五、六，但是嘴巴里说出来的是五，这个就是基数原则出了问题。还有吗？还有什么现象也说明他基数原则出了问题，还有吗？我来说一个现象，你们看看还是不是基数原则出了问题，“你说说看这里有几朵花？”“一、二、三、四、五、六，”手口一致很好，固定顺序也很好，数字也没有错。一、二、三、四、五、六数得很好，“几朵花？”一、二、三、四、五、六，"你说说看这里有几朵花一共？”一、二、三、四、五、六，什么问题？基数原则的问题，他说不出一个总数，他只能手口一致，只能固定顺序。

   最后我要讲一个什么原则？抽象原则。也就是说上面的四个原则它可以用于数任何可以数、可数的实体。也就是说你数花数人数什么，都要弄清楚这四个原则。这个原则是什么？是抽象，这个数数的原则是抽象。那么我说的这五个原则，我刚才讲，我们老师不是说不知道这个原则，我们一定要知道孩子在这个原则的表现上面会有什么问题。你们是不是可以知道，这个固定顺序、一一对应、顺序无关、基数原则，这五个原则之间是什么关系？对儿童来说这五个原则在他数数的时候是什么关系？是不是固定顺序最简单。是不是这样？当儿童会唱数的时候，它就是一个固定顺序，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……一直会唱到很远，这就是固定顺序。当他能够跟一个对象联系起来的时候，这是一一对应。但是他能一一对应但未必能说得出口，说得出口是基数原则。所以它是一个复杂的过程，递进的过程。那我们知道，在这五个原则当中，最容易出错的两个原则，一个是一一对应原则还有一个就是基数原则。在这两个原则上面儿童出错误的表现会更多一点。老师就会看明白，为什么说孩子会有这样的问题。比如说，我们看这个上面，孩子就是什么问题？第一排是什么问题？数序是正确的，对应出错了，是一个漏数的问题。第二排是什么问题？顺序出错了，就是数字命名的问题。第三排是什么问题？第三排是漏数的问题，第一排是数数过快的问题。所以我们会看到老师要明白孩子在数数的过程当中他的错误的类型是非常多的，各种各样的错误。有的时候是数序出问题了，固定顺序原则的问题。有的时候是点指错误了，那就是一一对应原则出了问题。有的时候是对应不起来，那也是对应问题。还有的时候是命名的问题。下面给老师们看一段视频，这个视频里面，我们把孩子的一些数数的错误就集中在一起。你们看看，你们一边看仔细一边评判一下它们是属于哪一个原则的问题。

    （看视频）

我们刚才看到的就是一些小班孩子的数数方面，各种各样的。所以我想说就是，数数对于孩子来说，我们看起来觉得它很简单，实际上不简单。而且我们会发现，数量本身也是一个问题，当他能够数小数量的时候，他未必就能够数大数量。小数量没有问题的情况下，数量一大又有问题，这是不稳定的。所以我们说，计数它实际上是一种甚为复杂的认知活动。为什么说它是复杂的呢？因为它涉及到了一个视觉，还有一个是动觉，另外一个是记忆，数字顺序的记忆，以及他的语言，要协调一致的这样一个认知活动。那么对于学前儿童来说，这个数数的这个能力的发展往往是需要相当长的间隔时间的。作为我们老师来说呢，应该要了解儿童数数这样一个发展，这样一个过程。

一般来说，我在这里给大家把它梳理出来，对于一个儿童来说，一般来说，他的数数能力的发展以这样一个阶梯式发展这样一个线索这样一个过程，大家注意一下年龄，年龄阶段我想大家不要绝对得去理解它，因为对每一个孩子来说，个体差异是非常大的。有的孩子三岁，但是他已经是五岁的表现；有的孩子五岁，但是他还是停留在四岁不到的水平。但是他一定是有这样一个发展过程，最早的是一种唱数。所以我们说，虽然我们一开始说数字孤零零地出现的时候对儿童是没有意义，但是我们也还是要鼓励儿童唱数，因为唱数的话至少能够让他知道数值的一个顺序，固定顺序是个什么样子。这个原则大家应该没有问题了，当他再能够进一步的时候他就能够跟物体建立起联系，就能点数。所以从唱数到点数，再到能够手口一致的对应的点指，再到能够不仅能够一一对应地点数，而且还能说出总数，这又是一个跨越。那么再到，年龄大一点，我们有的时候还让孩子目测一部分，然后还要接着往下数。注意，这个目测一部分接着往下数的策略，一般来说儿童是很少，不大会自发地来用这种策略。而只用目测的方法来数数可能吗？目测，他眼睛看，告诉我这里有三个还是四个，可能吗？这是完全有可能的，因为这个目测数数的能力是一种与生俱来的，尤其是对小数量，刚才我们园长说了，就是一般来说，孩子通常是不大超过五，最多极个别，一般来说很少很少，一般是三到五他能够目测的范围。但是你让他目测一部分然后再接着数，这是我们要始终给他的一个策略，这个策略一般来说，儿童相当少他会自发地去做。所以我们要看到就是说实际上还是一个目测的规则细则。到年龄再大一点，就是两个两个数、三个三个数、五个五个数，就是按群来数数。所以我想问大家，在数数能力的发展当中，我们说考察一个儿童数数能力的最关键的能力是什么？点数，手嘴一致点数，说出总数，目测，再接着数，再到按群数，最最关键的指标是什么？这个黑衣服的老师你来说，没关系你说试试。

手口一致点数

手口一致点数，而且这个手口一致点数还应该要怎么样？是不是应该要说出总数来，这个是最关键的。为什么？因为当他能够手口一致点数并且说出总数的时候，他是真正的把这个数词、数量跟物建立起了联系。至于我们说按群数实际上按群数还是一种点数，两个两个一点，两个两个一点，还是一种点数。所以点数对儿童来说当然是手口一致的点数并且说出总数。这个是儿童所说出的最根本的表现。我在这里想说的就是，对于儿童的这个数概念的学习，我们怎么样来帮助儿童更好地去发展，我们刚才讲了，它是一个相对来说复杂和艰难的过程。怎么样去提供一些支持呢？下面就跟老师们再讲讲这个问题了。

   首先我觉得我们要利用的日常生活当中的一些情景，还有我们运动当中的一些情景。运动当中我们可不可以让孩子数数啊，可以吧！拍皮球、跳绳、马兰花开几朵花的游戏，运动当中的数数是很自然的。日常生活当中有没有数数呢？有吧！日常生活当中我想很多数数你排队的时候，你分碗筷的时候，你要统计一些事情的时候，或者谁谁发表意见的时候，几个人支持他，几个人支持她？很多很多数数的这样子的场景。老师完全有的时候不要仅仅把数学想成就是一个集体课上，有时候做一些小游戏就可以让孩子一起来涉及数数的问题。我给你们看一段两分钟的视频，这个老师就是跟这个孩子很随意地在做一些小游戏。这个小游戏当中就有数数。然后我们要说的就是模拟情景教学。老师，我刚才讲了数学不要把它仅仅想成是教学，它也是游戏。那么我们看一段案例是《猫咪抓鱼》的这样一个情境。在这个情境当中，老师怎么样让孩子学习数数。

   先给大家看一个日常生活当中的小游戏，再让大家看一个模拟情境当中的游戏化的数学集体活动。我们借用这样几分钟时间来看一下，这都涉及到孩子数数的问题。

   这就是老师和孩子在做很随意的这样一个小游戏，这个当中牵扯到什么？是怎么数？

倒数。

倒数它是一种怎么数？刚才我们讲了唱数、点数、按群数，它是属于哪一种？

唱数。

  唱数仅仅是让孩子知道数序，所以就可以用生活当中的小游戏就行。也不一定要组织在一起上集体课。对吧！我们来看看老师设计的一个情境，集体的活动——《猫咪抓鱼》小班，尤其大家要特别看看孩子，你们看看这里的孩子在数数的过程当中都有一些什么样问题。

  （看视频）

  老师已经告诉他这个了，他还是在出错。这里面就牵涉到一个，对这个孩子来说可能就是数量，因为她是让他们抽数字的，当孩子一抽抽到一个二的时候，没有一个孩子数错了，都对。但是一抽抽到数字稍微大一点五的时候呢，就有孩子出问题。所以这个里面就牵涉到一个什么呢，就是我们讲的数量的大小也会影响到孩子数数的能力。我们可以看到在这个录像当中，老师很好地引导孩子去怎么样去数。但是在数的过程当中，发现有的孩子相对来言还是比较慢的。这里面老师做的还可以再慢一点，有点着急。他数到五个的时候，“这个已经满了，这个多出来的怎么办？”已经给他下结论了，这个多出来的。但明明我们看到，那个孩子还在拿着。所以这个时候你可以怎么样，让他做完，然后你再跟他沟通。因为你这样干预了以后，未必到下次一个情境，他还是照样会出现这样的问题。所以我想，我们这个数数的过程是一个反复的过程，要给儿童不断地提供这样的机会，让他去巩固他的数数。

   另外一个我想说的就是，除了我们给他提供一些日常生活的情境，运动当中的情境，集体活动那些模拟的情境促进他数数的发展之外，我想我们还可以再涉及一些应用型的活动。比如说我们区角，因为区角能够给儿童一种反复地去提高他的活动的能力的这样一种机会。比如说在这里介绍两个，一个小班的一个中班的。小班的这个材料，它叫是《数数小动物》，这个材料设计得我觉得它比较好，好在两点。第一点，它符合小班孩子的一个游戏的情境，因为小动物这样一个情境对孩子比较熟悉。第二个，我觉得它区角的设计比较好的就是，它这个空间利用比较好，KT版，它用这样一交叉以后就拼出了四个空间。四个空间以后然后孩子会各不影响，在这个四个空间里面，他可以来数。我们看到这里面的动物，小鸟、蝴蝶，数完以后这些数字告诉我们是多少，所以是小班孩子。

我们再看看中班孩子，中班孩子这个区角材料也很简单，但是这个就比较有游戏性。有些区角的材料学习性的味道太浓，游戏性几乎没有。这个材料看上去简单，但是它有一定的游戏性。它就是冰棍的棒子，老师给它涂涂颜色，就是叫四色的小木棍，四种颜色，然后两个孩子可以一起玩，每个孩子手里拿一刀牌，这些牌上面有一些点字，有些数字。然后两个孩子可以怎么玩呢？有多种玩法，最简单的玩法是什么？你抽一张我抽一张，我抽到一张是五，那我就拿五根棍子，最后来数谁的棍子多，这是一种玩法。还有什么玩法呢？我们可以来接龙，你抽一张我抽一张，然后我们来接龙，按照大小来接龙，数学。还可以怎么玩呢？比如说，我抽一张你的，你抽一张我的，抽到了以后，我一抽抽出来你是三，然后我在我自己的里面我必须找到和你一样的进行匹配。那么这也是一种对数量的认识，他要三，那我也必须找到一个三和你匹配，所以也可以数量。还可以怎么玩呢？按照这个顺序，接龙的顺序。比如说，你们注意到了，这个牌上的点，它是颜色不一样的，你们注意到了吗？那就是说它上面可以是绿颜色的，红颜色的，黄颜色的，他要按照颜色跟他拿相应的量。比如说我“啪”，一翻翻到一张六，这个上面是两个红三个黄一个绿，那么必须要对应地按照颜色，增加一个纬度再来一个数量，颜色数量两个纬度。

所以这个材料可以到了大班还可以玩组合和分解，玩运算。所以这么简单的一个材料但是它有一定的游戏性在里面。所以我想这个是数数它是一个相对来说相对复杂，那么我们需要一些活动去帮助儿童巩固。

今天，我想我们最主要的跟大家讨论的是数概念这个部分，在数概念这个部分，最后我要总结一下我们讲了三个方面的要点。

第一，首先是数字，数字它不是一个名称。你让孩子包括认得数字认识数字包括书写数字意义不大，从数学上来说意义不大。从数学上面来说对这个数字更大的意义是什么？数学意义要了解这个数字它所代表的意义，当他能够把这个数字用数量来表示的时候或用序数来表示的时候，就明白了它的数学意义。

第二，数量。数量我们说是一种属性，对象的一种属性，集合的一种属性。但是这个数量我们是需要通过，这个就是第一个要点和第二个要点之间的联系。数字可以来表示一定的数量，而数量的比较，数量的多少的比较对孩子来说是一个需要一定的策略支持的任务。

第三，我们很核心的能力就是数数，数量比较当中，但是这个数数它必须要达到，很好的数数的话，有五条原则。有的孩子往往会掌握一条原则、两条原则，可能其它的原则有问题就会表现出数数当中这些问题，这个能力也是一个渐进的过程，作为老师来说，需要给儿童提供一些知识性的活动，帮助他去提高这样一个能力。

   今天我想我们主要的就是讲数和运算当中的数这个部分，讲这样一些内容。下一次我们再来讨论另外一种运算，今天也很谢谢在座的各位老师的参与，谢谢大家！

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